如何求解三维谐振子？《张朝阳的物理课》介绍三维谐振子的能级简并度
为什么三维谐振子可以分解成三个一维谐振子？三维各向同性的谐振子的能级简并度是多少？7月14日12时，《张朝阳的物理课》第一百五十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先复习了一维谐振子的升降算符解法以及怎么定性地理解在一个大气压下液氦无法凝固成固体，然后转向讨论起三维谐振子。张朝阳向网友们介绍了三维谐振子可以分解成三个一维谐振子，然后借助一维谐振子的能级公式得到了三维谐振子的能级公式，并在最后计算了三维各向同性谐振子的能级简并度。
分解三维谐振子 直接得到能级表达式
课程一开始，张朝阳给网友们复习了上一次物理直播课讲解的内容，其中包括一维谐振子的升降算符解法，以及借助谐振子基态波函数弥散程度分析液氦在一个大气压下无法凝固的原因。
复习完这些内容后，张朝阳开始介绍三维谐振子模型。一般来说，一个三维势阱，其势能最低点附近可以近似成为一个三维谐振子，比如限制在晶格位置上的原子/离子的小幅运动可以看成是粒子在三维谐振子下的运动。如果弹簧的在静止状态下的长度近似为0，并且弹簧的力与其伸长量成正比，那么当弹簧的一端固定在原点，另一端连接上一个粒子时，此模型就是三维谐振子模型，而且这个三维谐振子是各向同性的。
三维谐振子的势能是三个直角坐标分量的二次函数。如果选取势能最低点为坐标原点，那么三维谐振子的哈密顿量可以写为
其中，m是粒子的质量。由上式可以看到，三维谐振子的哈密顿量可以写成三个一维谐振子的哈密顿量之和。如果以量子力学的角度来看，那就是三维谐振子的哈密顿算符可以写成三个一维谐振子的哈密顿算符之和：
借助这些算符的表达式，容易知道Hx、Hy、Hz、H之间是互相对易的，因此总的希尔伯特空间可以看成是三个希尔伯特空间的张量积：
上式等号右边的三个希尔伯特空间分别对应着Hx、Hy、Hz作为一维谐振子哈密顿算符时的希尔伯特空间。根据张量积的定义，一般的态可以表示为
在某些情况下，上式的求和需要换成积分。
由于H等于Hx、Hy、Hz三者之和，因此可以通过一维谐振子的能量本征态相乘得到三维谐振子能量本征态：
其中等号右边的三个态分别是Hx、Hy、Hz作为一维谐振子哈密顿算符时的能量本征态，满足
其中，n_x、n_y、n_z都只能取非负整数值。由此可得三维谐振子的能级表达式为
对于各向同性的三维谐振子，ωx=ωy=ωz=ω，此时能级公式可以简化为
可以知道，n只能取非负整数值。
（张朝阳求解得到三维谐振子的能级表达式）
计算整数的分解可能性 求得各向同性三维谐振子的简并度
得到了三维谐振子的能级表达式之后，张朝阳向网友们解释，在一维谐振子中，一个非负整数n只对应一个能态，因此能级是不简并的，但是在三维各向同性谐振子中会出现一个能级对应多个能态的情况，也就是说能级出现简并了。接下来，我们需要求出三维各向同性谐振子的能级简并度，也就是同一能级所对应的线性独立的本征态数量。
根据前面的分析可以知道，{Hx、Hy、Hz}构成一组力学量完全集，它们的量子数可以完全把一个能量本征态确定下来，因此，只要知道n_x、n_y、n_z的取值，就可以唯一确定下相应的能量本征态了。又因为各向同性三维谐振子的能级由n决定，而n=n_x+n_y+n_z，所以只需要计算出有多少种方式将n写成三个非负整数之和即可。比如对于n=10，有很多种分解方式：
怎么计算所有分解的可能性数量呢？张朝阳先设n_x=k，这样的话就有
容易知道k的取值范围是0到n之间的整数值（包括0和n）。接下来的问题就是，当n_y+n_z=n-k时，有多少种可能性来分配n_y与n_z的值呢？这个问题是很简单的，比如设n-k=5，那么容易得到下面的6种分解情况：
对于一般情况，容易知道当n_y+n_z=n-k时，一共存在(n-k+1)种分配情况。因此，总的分解可能性的数量为
因此，对于各向同性谐振子的En能级，其简并度为
比如，对于n=10的能级，其简并度为(10+1)(10+2)/2=66。张朝阳强调，这个简并度是比较大的。
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。
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